1 基础理论知识
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1 布尔代数
- 与|或|非
- 与或非：AND-NOR
- 异或 | 同或
- A+BC=(A+B)(A+C)
2 基本定理
2.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，等式依然成立
例如： 由 A+BC = (A+B)(A+C) ，可推出 \(\Rightarrow\) A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)
2.2 反演定理
- \(Y \Rightarrow Y', + \Rightarrow \cdot , \cdot \Rightarrow +\)
- 原变量 \(\Rightarrow\) 反变量
- 反变量 \(\Rightarrow\) 原变量
例如：
\(Y=A(B+C)+CD\) 则按上述规则取反： \(Y'=(A'+B'C')\cdot (C'+D')\) 再进行化简： \(Y'=A'C'+A'D'+B'C'+B'C'D'\) \(= A'C'+A'D'+B'C'(1+D')\) \(=A'C'+A'D'+B'C\)
3 逻辑函数及其表示方法
- 逻辑式/逻辑图/波形图
- 卡诺图
几种表达方式，需要进行互相转换。此部分同高中技术暂略
3.2 逻辑函数的两种标准形式
3.2.1 最小项之和
- 最小项 m :
- m是乘积项
- 包含n个因子
- n个变量均以原变量河反变量的形式在m中出现一次
- 最小项的编号：
- 最小项的性质：
- 每一项都在
- 有且仅有一个最小项的值为1
- 全体最小项之和为1
- 任何两个最小项之积为0
- 两个相邻最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子
任何逻辑函数：都可以利用公式(A+A'=1),化作【最小项之和 \(\sum m_i\) 】的形式。
例如：
\(Y(A,B,C)=ABC'+BC=ABC'+BC(A+A')=ABC'+ABC+A'BC\) \(=\sum m(3,6,7)\)
3.2.2 最大项之积
- 最大项：
- M 是相加项
- 包含 n 个因子
- n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次
- 最大项的性质:
由最小项到最大项表达的推导：
\(Y=\sum m_i \Rightarrow Y' = \sum_{k \neq i} m_k\)
\(\therefore Y=(\sum_{k \neq i} m_k)'\)
由反演定理，
\(\therefore Y= \Pi_{i \neq k} m_k' = \Pi_{i \neq k} M_k\)
因此，一个逻辑表达式既可以表达成最小项之和，又可以表达成最大项之积。
4 逻辑表达式的化简
4.1 公式化简法
略
4.2 卡诺图化简法
4.2.1 卡诺图介绍
以\(2^n\)个小方块分别代表\(n\)变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示\(n\)变量全部最小项的卡诺图
例如：
tips: 所谓的几何关系上的相邻，指的是只有一位的0、1状态进行了变化
4.2.2 卡诺图化简
Steps：
1. 将函数表示为最小项之和的形式\(\sum m_i\)
（实际操作中，可以直接根据逻辑表达式填1的位置）
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1, 其余地方填0
3. 具有相邻性的最小项合并，消去不同因子
- 合并原则
- 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
- 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子
- 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子
- 化简原则：
- 化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项， 即覆盖图中所有的1
- 乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少
- 每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大
注意： 由于圈项的方式不一样，化简结果不唯一
在保证上述条件的情况下，可以有冗余，比如：
4.2.3 无关项在化简逻辑函数中的应用
- 无关项：0或1：用x表示