预备知识：组合数计算

• \(C_n^r\) 怎么计算？
  • 法一：
    
    
• • 法二：

• \(C_n^r\) 和 \(A_n^r\) 的区别在哪里？
  
  
  
  

• 练习题
• \(C_6^3\)
  
• \(C_9^0\)
  ->
• \(C_5^1\)
  
  
• \(C_5^4\)
  
  
• 写出\(C_k^{m+1}\)的通式

一、引入

\((a+b)^2=\)

\((a+b)^3=\)

- 再尝试写出几个？

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- 利用分布乘法计数原理解释

• 推导： \((a+b)^k=\)

- 逻辑推广：

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• 书上的话：

![[Pasted image 20240404123214.png]]

二、应用

- 求下列表达式的第\(m+1\)项 （\(m+1<=k\)）

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- 例1： 求\((x+2)^4\) 的第二项系数。

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• 方法总结归纳：

• 题型：求表达式的某一项系数

• 方法：

  • step1：默写二项式定理通项 \(T_{r+1}=C_n^r x^{n-r}y^r\)
  • step2: 代入表达式，（\(n=?\) \(r+1=?\)）

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• • step3: 按照列出来的算式计算组合数
• • step4: 化简

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• 练习题

- 例1： 求\((2x+3)^5\) 的第三项系数。

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• 推广1： 已知\(k>=3\), 求\((x+2)^k\) 的第二项。（用\(k\)表示）
• 推广2： 已知\(k>=m\), 求\((x+2)^k\) 的第\(m\)项。（用\(k\)表示）[课后作业]
• 变式1： 求\((x+\frac{2}{x})^5\) 的第二项。
• 变式2：已知\(k>=3\), 求\((x-\frac{2}{x})^k\) 的第二项。（用\(k\)表示）
• step1:
• step 2:
• step3:
• Tips :对于计算量稍微有点大的化简，我建议的顺序如下：
• step4:
• 4.1: **将目前所有含\(x\)的项化成\(x^n\)的形式
• 4.2: 提出常数项，对常数项进行化简
• 4.3: 指数化简
• 变式3： 求\((1+\sqrt{x})^5\) 的第二项。
• 变式4： 求\((\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^5\) 的第三项。
• 变式5： 求\((2\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}})^5\) 的第二项系数。

三、【进阶版】更多变式

3.1 三项式

• 方法：组合【捆绑】
• 例1：\((x+2y-1)^7\)的展开式中，\(x^2y^3\)的系数？

3.2 两个括号相乘

• 方法：设m+设n
• 例2：\((x^3+1)(x-2)^4\)的展开式中，\(x^3\)的系数？
• 例3：\((x+y)(x-y)^6\)的展开式中，\(x^3y^4\)的系数？
• 变式：\((x^2+1)(2x+1)^3\) 中 \(x^3\) 的系数？

四、二项式系数的性质

• \((a+b)^n\) 的展开式的二项式系数：\(C_n^0\)、\(C_n^1\)、\(C_n^2\)、…、\(C_n^k\)、…、\(C_n^n\)
• \(n=6\)时：（对称性） ![[Pasted image 20240404223528.png]]
• 二项式系数的和：\(2^n\)

![[Pasted image 20240404223700.png]]

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• 思想的延拓——所有项的系数和：

• 二项式 \((x-2)(1+x)^n\) 的展开式中，所有项的系数和为-256，求\(x^2\)的系数？