预备知识

利用古典概型计算概率

• 例题1：一共5个红球5个白球，摸出其中一个球，是白球的概率是多少？
  • \(Ω:\) 样本空间 \(n{(Ω)}\) 样本总个数：10
  • \(A:\) 事件 \(n(A)\) 事件的总个数：5
  • \(P(A)\)=\(\frac{n_{(Ω)}}{n(A)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
  • 步骤：
  • 设事件A，找出样本空间
  • 求出\(n(A)\)和\(n{(Ω)}\)
  • 计算：\(P(A)\)=\(\frac{n_{(Ω)}}{n(A)}\)

一、引入

怎么求积事件AB ?

例题1：

• 抛骰子
  • （1）第一次抛到6的概率？
  • （2）第二次抛到1的概率？
  • （3）第一次抛到6、第二次也抛到1的概率？
  • （4）两次抛到的点数大于3，且第一次抛到1的概率？
    • 小于等于3：1+1，1+2，2+1，一共有\(6\times6=36\)种 \(P(A)=\frac{11}{12}\)
    • 第一次抛到1的概率\(P=\)
    • 实际概率：总共次数：36次，大于3一共33次。其中6次第一次就抛到1 → \(P=\frac{6}{33}=\frac{2}{11}\)

Tips:

• 当事件A与B相互独立的时候，有\(P(AB)=P(A)\times P(B)\)
• 当事件A与B不相互独立的时候→条件概率

例题2：
[书上的例题]

• 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭。随机选择一个家庭，那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大? (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大?

（1）

第一步：设事件A，找出样本空间

• 样本空间：观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间\(Ω\) ={bb， bg, gb， gg}，且所有样本点是等可能的
• 设事件： 用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则A={bg，gb, gg}, B= {gg}.

第二步：求出n(B)和n(Ω)

• \(n(Ω)=\)
• \(n(B)=\)

第三步：计算：\(P(A)\)=\(\frac{n_{(Ω)}}{n(A)}\)

（2）

如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率

-> 翻译：在“A=这个家庭有女孩”的条件下，事件B=“两个小孩都是女孩”发生的概率 → [记为P(B|A)]

• 此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB.【难点：怎么理解？】
  
  ∴第二步：n(AB)= n(A)=

第三步： 计算：\(P(B|A)\)=\(\frac{n(AB)}{n(A)}=\)

二、公式推导：

_~抽象~的定义：“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB.

让我们再看看这个式子

\(P(B|A)\)=\(\frac{n(AB)}{n(A)}\)

![[Pasted image 20240412214817.png]]

tips：总结归纳：

• 求条件概率的两个方法：
• \(P(B|A)\)=\(\frac{n(AB)}{n(A)}\)
• \(P(B|A)\)=\(\frac{P(AB)}{P(A)}\)

概率的乘法公式

变形得：

\(P(AB)\)=\({P(B|A)}\times {P(A)}\)

三、案例分析

• 例1： ![[Pasted image 20240412220019.png]]
• 红色正方形的两条边中点，分别与黄色正方形的两条边中点重合
• 蓝色正方形边长为4，红色、黄色正方形边长为2
• 在蓝色正方形里随便扔一个质点，在它落在黄色正方形的前提下，求它同时也落在红色正方形里的概率。

第一步： - A= - B= - 本题要计算: 第二步： - 选取p还是n？ - P(B) - P(A) 第三步： \(P(B|A)\)=\(\frac{P(AB)}{P(A)}\)

• 求事件积也一样

• 不要求掌握： 这道题背后有着概率计算的思考逻辑

抽签问题：真的公平吗？

• 例2[结论]：不放回抽取

![[Pasted image 20240412220659.png]] 难点：设事件

![[Pasted image 20240412220729.png]]

难点2：求事件积 ![[Pasted image 20240412220751.png]] ![[Pasted image 20240412220803.png]]

- 练习： ![[Pasted image 20240412221137.png]]