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Part I 随机变量的分布

2.1 变量的概念

自主复习书本上的概念,完成下面的判断题

  • 随机变量、离散型随机变量

自我检验

判断题:是不是离散型随机变量?
  • 某零件的制作误差X
  • 抛骰子抛出Z
  • 高三1班正态分布的数学成绩Y
  • 上学通过5个路口,碰到红灯的路口个数的N

2.2 分布列

就是表示某个事情发生的概率的一种特殊的方式

例1

例2

P(X=k) = \(C^k_3 \times 0.8^k \times 0.2^{3-k}\)

方法:归纳

怎么检验正确?

  • \(\sum{(P=X_i)}=1\)
  • 以上面举例:\(0.2+0.3+0.15+0.45≠1\) ,所以上面算出来的错了!

Part II 二项分布

概念1:伯努利试验

定义:只包含两个可能结果的实验

判断题:

  • 抛掷一枚质地均匀的硬币
  • 军训时候练习的第一次射击
  • 一批产品里找一个产品,检测它是次品还是正常
  • 一个罐子里装有3个红球和5个白球,随机摸一个球
  • 一个罐子里装有3个红球、2个黑球和5个白球,随机摸一个球

概念1推广:n重伯努利实验

定义: 我们将一个伯努利实验独立重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验

表示方式:X~B(n,p)

在上面的基础上举例

  • 抛掷一枚质地均匀的硬币10次 X~B(10,0.5)
  • 军训时候练习十次射击(已知命中率60%) X~B(10,0.6)
  • 一批产品里找一个产品,检测它是次品还是正常(次品率0.4) X~B(10,0.6)
  • 一个罐子里装有3个红球和5个白球,放回的情况下随机摸3次球 X~B(3,0.6)

概率计算方式:

例题

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续三次射击,中靶次数的概率分布列是怎么样的?

一般的解法和解法

  1. 分析事件,画树状图:

  1. 利用条件概率进行计算 以X=2为例,我们描树状图的路径 P(X=2)=【第一条路】0.8 \(\times\) 0.8 \(\times\) 0.2+ 0.8 \(\times\) 0.2 \(\times\) 0.8 +0.2 \(\times\) 0.8 \(\times\) 0.8 = 3 \(\times 0.8^2\) \(\times\) 0.2

计算结果:

归纳: P(X=k) = \(C^k_3 \times 0.8^k \times 0.2^{3-k}\), k=0,1,2,3

Part III 超几何分布、正态分布(略)

  1. 超几何分布:看清楚情形就好,公式不用特别去记。
\[P(X=k)=\frac{C^k_M C^{n-k}_{N-M}}{C^n_N},k=m,m+1,m+2,...r\]

实际场景中的应用

例1:从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率。 解: 利用超几何分布就是: \(\(P(X=1)=\frac{C^1_1 C^4_{49}}{C^5_{50}}=\frac{1}{10}\)\) 公式解析: - 要满足既有甲被选中(\(C^1_1\)),又有剩下49个人中有四个人选中(\(C^4_{49}\))总共就有\(C^1_1 C^4_{49}\)种3方案. - 而分母就是总的事件(样本空间),从50个人中选五个(\(C^5_{50}\)) - 相除即可

  1. 正态分布
  2. 要点:是连续性随机变量
  3. 记住两个事情即可:
      1. 它的图像:
        1. 知道长什么样
        1. 知道表达的是什么:只需要记住一点,\(f(x)\)图像与\(x\)轴围成的面积代表了概率\(P(X≤x)\)
      1. 它的性质: 对称性:关于\(x=\mu\)对称
      2. 怎么用呢?\(P(X≤x)=P(X≥2\mu-x)\)
      1. \(\mu\)\(\sigma\) :分别表示均值/方差

例题-2021新高考II卷

  • 6.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,\(\sigma^2\)),下列结论中不正确的是( )

    • A. σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

    • B. σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

    • C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01 的概率相等

    • D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10, 10.3)的概率相等

答案

D

番外:解概率题的方法?