4.2 狭义相对论基本原理、洛伦兹变换¶

一、狭义相对论基本原理¶

1. 爱因斯坦的思路：¶

（1）以太实验的零结果：
- 物理现象在所有惯性系中都按相同的定律进行,对麦克斯韦方程也应成立.
- 吸收了洛伦兹 的光速不变性
（2）光速不变性概念与速度合成矛盾的解决：
- 时间不是绝对的！

2. 狭义相对论的基本原理：¶

都不是原创

a.相对性原理：所有惯性系中都相同
b.光速不变原理（真空中）

3.洛伦兹变换的推导¶

满足两个基本性质：
- 时空的均匀性
- 低速下符合伽利略变换 ->新变换是线性的！

低速下:\(x'=x-ut\) 若要线性：\(x'\) 正比于 \(x-ut\) → \(x'=k(x-ut)\) 反过来：\(x=x'+ut\) → \(x=k(x'+ut)\) 考虑光的运动，设在\(t=t'=0\)的时刻， (i)坐标原点O与O'重合 (ii)位于坐标原点的光源发出光 - 由光速不变原理，\(x=ct, x'=c't'=ct'\) - 在两个不同的参考系中，\(x=ct,x'=ct\) - 再使用上面的假设：\(x=k(x'+ut)=ct(1),x'=k(x-ut)=ct'(2)\) （1）×（2）： \(x·x' =k^2(x'+ut')(x-ut)=k^2（ct'+ut'）(ct-ut)=k^2(c+u)t'· (c-u)t=ct·ct'\) \(→k^2(1-\frac{u^2}{c^2})t·t'=t·t'\) →[!!]洛伦兹因子 \(k=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\) 新变换： \(∴x'=k(x-ut)=\frac{x-ut}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}\) \(y'=y\) \(z'=z\) (没在这两个方向上做过变换)

利用\(t=\frac{x}{c}\)做变换： \(t=\frac{x'}{c'}=\frac{x'}{c}=\frac{1}{c}·x'=\frac{1}{c}·\frac{x-ut}{k}=\frac{1}{c}·\frac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\frac{\frac{x}{c}-\frac{u}{c}·\frac{x}{c}}{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\)

逆变换：（公式上来看，把减号改成了加号，且[!!]\(t→t'\)）逆变换公式截图【本质：】让K系相对K’系以\((u'=-u)\)运动，得到了逆变换

Warning

（1）物理规律一致性→t和t'可以交换，u变为-u
（2）u<<c,可以退化为伽利略变换
（3）若不是描述光子运动，则洛伦兹变换是坐标变换
（4）u≤c.（真空中c是物体运动速度极限）

三、爱因斯坦速度变换¶

洛伦兹变换两边求微分：【原式子】： \(x'=\frac{x-ut}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}\)

\(t'=\frac{t-ux/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\)

【求微分】： \(→dx'=\frac{dx-udt}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}\) \(→dt'=\frac{dt-udx/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\)

【代入】：（同时：\(v_x=\frac{dx}{dt}\),上下同除\(dt\)）

\(v^{'}_x=\frac{dx'}{dt'}\), 代入: \(v^{'}_x=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\frac{dx-udt}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}}{\frac{dt-udx/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}}=\frac{dx-udt}{{dt-udx/c^2}}=\frac{dx/dt-u}{{1-u\frac{dx}{dt}/c^2}}=\frac{v_x-u}{{1-uv_x/c^2}}\) \(v^{'}_y=\frac{dy'}{dt}=\frac{dy\sqrt{1-u^2/c^2}}{dt-udx/c^2}=\frac{(dy/dt)\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-u(dx/dt)/c^2}=\frac{(v_y)\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2}\) \(v^{'}_z=\frac{dz'}{dt}=\frac{dz\sqrt{1-u^2/c^2}}{dt-udx/c^2}=\frac{(dz/dt)\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-u(dx/dt)/c^2}=\frac{(v_z)\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-uv_x/c^2}\)

速度变换/逆变换

Warning

（1）不仅x方向有变换、y、z也有变换，且为一个有机整体

例1：已知光在静水中的速度为c/n,n为折射率，求从地面上观察，在流速为u的水中的光速。
解：
- 参考系：K是地面，K‘是流水
- 这里\(v^{'}_x=\frac{c}{n}\)（光相对流水的传播速度=静水速度），u是参考系相对移动的速度，这里就是流水的速度
- \(v_x=\frac{v^{'}_x+u}{1+uv^{'}_x/c^2}=\frac{c/n+u}{1+u\frac{c}{n}/c^2}=\frac{c+nu}{n+u/c}\)
- 特别的：当n=1时，\(v^{'}_x=\frac{c}{n}=c,v_x=\frac{c+u}{1+u/c}=c\) 【真空中的光速与参照系无关】
例2：一飞船以0.6c的速率相对于地球飞行，一光信号从船尾传向船头，飞船上的宇航员测得飞船长100m.试求地球上的观察者测得光信号从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔。
解：
- 参考系：K是地球，K’是飞船
- 这里\(u=0.6c\) ,\(t'_2-t'_1=\frac{x'_2-x'_1}{c}=\frac{100}{c}\)
- 飞船上：\(\Delta x'=x'_2-x'_1=100m\)
- \(x_2=\frac{x'_2+ut'_2}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}\)
- \(x_1=\frac{x'_1+ut'_1}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}\)
- 地球上：\(\Delta x=x_2-x_1==\frac{x'_2+ut'_2}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}-=\frac{x'_1+ut'_1}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u^2/c^2)}}·[(x'_2-x'_1)+u(t'_2-t'_1)]\)
- \(将u和\Delta t' 代入，x_2-x_1=\frac{1}{\sqrt{(1-(0.6c)^2/c^2)}}·[100+0.6c(100/c)]=160/0.8=200m\)

4.3 狭义相对论的时空观¶

一、同时的相对性¶

1. “同时”与参照系的关系¶

tips： (1)当\(x_2≠x_1\)时，\(t'_2≠t'_1。只有x_2=x_1,t'_2=t'_1\) - K系中不同地点“同时”发生的两件事情，在K‘系中不同时。只有同时同地发生的事件，在其他惯性系观察才是同时的。 - “同时”与参照系有关，故“同时”是相对的 (2) - u>0,K'系从\(x_1\)到\(x_2\), 则\(x_2-x_1>0\), →\(t^{'}_1- t^{'}_2>0\) → \(t^{'}_1> t^{'}_2\) 所以\(x_2\) 位置先发生 - u>0,K'系从\(x_2\)到\(x_1\), 则\(x_2-x_1>0\), →\(t^{'}_1- t^{'}_2<0\) → \(t^{'}_1<t^{'}_2\) 所以\(x_1\) 位置先发生 conclusions:越前面的越发生 (朝着速度方向的位置)

二、长度的相对性¶

1.运动系物理测量长度的定义：¶

运动系物体测量长度的定义：同时记下物体两端的位置
- 相对静止的参照系中的长度：固有长度/定长
静止长度：\(l_0=x_2-x_1\)
运动中测量： \(l'=x^{'}_2-x^{'}_1\)

Warning

在相对棒静止的惯性系中，棒长度最大，等于棒的静长\(l_0\),在相对棒运动的惯性系中，棒沿运动方向的长度必小于静长→长度缩短
适用条件：
- 测量运动物体的长度，同时记下位置
与相对运动的垂直方向不发生长度收缩
e.g. 列车雷击问题：还要考虑“同时”的相对性，两个雷不是一起下落的

三、时间的相对性¶

原时、两地时
两地时(\(\frac{l}{c}\))>原时(\(\frac{d}{c}\))
定量推导： \(l=\sqrt{d^2+(\frac{u \Delta t}{2})^2}\) \(\Delta t= \frac{2l}{c}\) 由此解出\(\Delta t=\frac{2d/c}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\) 又∵ \(\Delta t_0=\frac{2d}{c}\) ∴\(\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\)

Tip

- 也可以用洛伦兹变换计算： - \(\Delta t'=t'_2-t'_1=\frac{t_2-ux/c^2-(t_1-ux/c^2)}{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\frac{t_2-t_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\)